Les suites : les itinéraires et objectifs projet

Atteindre les objectifs du projet constitue l'action essentielle à réaliser.

Pour mieux comprendre cela, examinons d'abord d'autres notions telles que la comparaison de la finesse des topologies, la notion de voisinage, d'intérieur, d'adhérence, de frontière et de séparation. Ensuite, nous examinerons comment l'utilisation des suites topologiques peut nous permettre de représenter l'accomplissement des objectifs du projet.

Finesse relative de topologies

Soient E un ensemble, O et O' deux topologies sur E. La topologie O est dite plus fine que  O' lorsque  O' \(\subset\)  O et moins fine si O \(\subset\) O' .

La topologie grossière sur E : O={\(\Phi\), E} est la moins fine des topologies sur E.
La topologie discrète sur E : O=P(E) est la plus fine des topologies sur E.

Voisinage

Soit (E,O) un espace topologique non vide et x \(\in\) E un point de cet espace. On appelle voisinage de x toute partie de E contenant un ouvert contenant x.
Ou plus généralement, soit A une partie de E. On appelle voisinage de A toute partie de E contenant un ouvert contenant A.

Si x est un point de (E,O), on note V(x) l'ensemble des voisinages de x. \(\forall\) x\(\in\) E, \(\forall\) V \(\in\) V(x), x \(\in\) V

x est un point intérieur à A si A est un voisinage de x.
L'intérieur Å de A est l'ensemble de tous les points intérieurs de A.

x est un point adhérent à A si tout voisinage de x rencontre A (c.-à-d. : voisinage non disjoint de A \(\Leftrightarrow\) intersection non vide).
L'adhérence \(\bar{A}\) de A est l'ensemble des points adhérents à A.

x est un point frontière de A s'il est simultanément adhérent à A et à son complémentaire sur E.
La frontière de A est l'ensemble des points frontière de A.

Espace topologique séparé

Un espace topologique (E,O) est séparé s'il vérifie la propriété suivante : pour tout couple de points distincts a et b de E, il existe un voisinage V_a de a et un voisinage V_b de b de E tels que V_a\(\cap\)V_b = \(\Phi\).

Dans l'ensemble projet P, nous trouvons simultanément des caractéristiques propres au projet et des caractéristiques propres à son environnement. La notion d'intérieur nous permet de conceptualiser la partie propre au projet, sa frontière, l'interface avec son environnement ou entre un projet et des sous-projets.

Suite dans un espace topologique

Une suite d'un espace topologique (E,O) est une application x : \(\mathbb{N}\to\) E.

On note x\(_{n}\) l'image de n par x et (x\(_{n}\))\(_{n∈ \mathbb{N}}\) la suite elle-même.

Convergence d'une suite

 Soit (x\(_{n}\))\(_{n∈ \mathbb{N}}\) une suite d'un espace topologique (E,O). On dit que cette suite converge vers a \(\in\) E si

 \(\forall\) V \(\in\) V(a), \(\exists\) N \(\in\) \(\mathbb{N}\) tel que \(\forall\) n \(\geq\) N, x\(_{n}\) \(\in\) V(a)

Si l'espace topologique est séparé, a est unique et la convergence est notée :

\(\displaystyle \lim_{n \to \propto} x_{n}\) = a