Les relations : les représentations projet

À présent que nous disposons d'un ensemble de caractéristiques du projet, il est nécessaire de les interconnecter et de représenter ces relations afin d'en faire ressortir un sens.

Tout d'abord, (re)examinons les définitions de produit cartésien, de relation, d'application, de famille et de matrice qui nous seront utiles ultérieurement.

Produit cartésien

Étant donné deux ensembles E et F, on appelle produit cartésien de E et F l’ensemble suivant :

E\(\times\)F = {(x, y) : x \(\in\) E et y \(\in\) F}

et le produit cartésien de n ensembles avec \({I}\) = {1,... n} par

\(\displaystyle \prod_{i\in I}E_{i}\) = {(x₁, x₂, . . . , x_n) : x₁ \(\in E_{1}\) et x₂ \(\in E_{2}\) et ... et x_n \(\in E_{n}\)}.

Plus généralement, on introduit des n-uplets (ou n-listes) (couples, triplets, quadruplets, quintuplets, sextuplets, heptuplets, octuplets, nonuplets, décuplets…) (x₁, x₂, . . . , x_n) avec la propriété :

(x₁, x₂, . . . , x_n) = (y₁, y₂, . . . , y_n) ⇔ x₁ = y₁ et x₂ = y₂ . . . x_n = y_n 

Ce produit n'est pas commutatif, c'est-à-dire que E\(\times\)F peut être différent de F\(\times\)E. Par conséquent, un n-uplets est une liste ordonnée, donc l’ordre des éléments dans la liste est peut-être important. Il est à remarquer qu'il n'est pas utile d'introduire des relations d'ordre pour avoir un outil pour créer des listes ordonnées, le produit cartésien suffit.
Lorsque E et F sont deux ensembles finis, alors le cardinal (nombre d'éléments) de E\(\times\)F est le produit du nombre d'éléments de E et du nombre d'éléments de F : Card(E\(\times\)F)=Card(E)×Card(F).

Ne pas confondre une paire {x,y} une partie de P(E) qui est un ensemble non ordonné de deux éléments d'un même ensemble E avec un couple (x,y) élément de E\(\times\)F (ou de E\(\times\)E) ordonné de deux éléments de E et de F (ou de E aussi).

Une relation

Une relation R est la donnée de :
– Un ensemble de départ : E (non vide).
– Un ensemble d’arrivée : F (non vide).
– D'un graphe G qui est une partie de E\(\times\)F ( G \(\subset\) E \(\times\) F).
Soient x \(\in\) E et y \(\in\) F, on dira que x est en relation avec y pour R lorsque (x, y) ∈ G, on écrira x R y. On dira que y est une image de x par R et que x est un antécédent de y par R.
Lorsque tout élément de E a une et une seule image par R, on dit que R est une application (ou fonction). Si c’est le cas, et si x R y, alors on écrira plutôt y = R(x), on dira que y est l’image de x par R. L’ensemble des applications de E vers F est noté F(E, F) ou encore F^E.

L'intérêt principal de connaître des caractéristiques de projet est de pouvoir les mettre en relation entre elles. Concrètement, former un couple (ci , ai) composé d'une caractéristique (primaire) ci \(\in\) P et d'un attribut (caractéristique secondaire) ai \(\in\) P qui lui est associé. Ce qui revient à travailler sur un graphe G \(\subset\) P2 = P\(\times\)P, représentant la relation ci R ai de lien d'attribut. Il n'est pas utile d'introduire des relations d'ordre pour avoir un outil pour créer des listes ordonnées de caractéristiques projet, donc de priorisation, le produit cartésien suffit. Nous analyserons les situations de projet avec des graphes G, bien choisis, que j'appelle des représentations projet.

Composée de fonction

Soient E, F, G trois ensembles, f : E → F et g : F → G deux applications. La composée g ◦ f est l’application de E vers G définie par : ∀x \(\in\) E, (g ◦ f )(x) = g(f (x))

g ◦ f : E → G
x \(\mapsto\) (g ◦ f )(x) = g(f (x))

Famille d’éléments d’un ensemble indexée

Soit \({I}\) un ensemble, et soit E un ensemble. On appelle famille d’éléments de E indexée par \({I}\) toute application u : \({I}\) → E, on note généralement cette famille (u\(_{i}\))\(_{i∈I}\), et pour \({i\in I}\), on note u(i) = u\(_{i}\) (appelé terme d'indice \({i}\)). L’ensemble de départ \({I}\) est appelé ensemble des indices de la famille.
Une famille d’éléments de E indexée par \(\mathbb{N}\) est appelée suite d’éléments de E. L’ensemble des familles d’éléments de E indexées par \({I}\) se note F(\({I}\), E) ou E\(^{I}\).

La notion de famille est une généralisation de celle de suites numériques.
Si \({J}\) \(\subset\) \({I}\), la restriction de l'application u à \({J}\) est appelée sous-famille de la famille u.

Famille de parties d’un ensemble indexée

Conformément à la définition ci-dessus, une famille de parties de E indexée par un ensemble \({I}\), est une application A : \({I}\) →P(E), que l’on peut noter (A\(_{i}\))\(_{i∈I}\) (A\(_{i}\) étant une partie de E pour tout \({i\in I}\)). On peut alors généraliser les notions d’intersection et de réunion de la manière suivante :

– La réunion de la famille (A\(_{i}\))\(_{i∈I}\) est     \(\bigcup_{i∈I}\)A\(_{i}\)= {x \(\in\) E | ∃\({i\in I}\), x \(\in\) A\(_{i}\)}.
– L’intersection de la famille (A\(_{i}\))\(_{i∈I}\) est \(\bigcap_{i∈I}\)A\(_{i}\)= {x \(\in\) E | ∀\({i\in I}\), x \(\in\) A\(_{i}\)}.

Projection d'une famille d'ensembles 

Soit (A\(_{i}\))\(_{i∈I}\) une famille d’ensembles indexée par \({I}\) = {1,... n} et X le produit cartésien de cette famille X = \(\displaystyle \prod_{i\in I}A_{i}\)
Pour tout \({i\in I}\), l’application p\(_{i}\) : X → A\(_{i}\), définie par p\(_{i}\)(x) =a\(_{i}\) avec x = (a\(_{1}\), a\(_{2}\), . . . , a\(_{n}\)) est appelée la projection de X sur le facteur d’indice \({i}\).

Matrice

Une matrice de type (I,J) à coefficients dans E est une famille d'éléments de E indexée par le produit cartésien I \(\times\) J, c'est-à-dire une application A de I \(\times\) J dans E. Son type (I,J) fait partie de la spécification de la matrice, mais pas l'ensemble E.

Le plus souvent, les ensembles I et J sont finis et sont respectivement les ensembles de nombres entiers {1, …, m} et {1, …, n}. Dans ce cas, on dit que la matrice a m lignes et n colonnes, ou qu'elle est de taille (m,n).
En notant a\(_{i,j}\) l'image d'un couple (\({i,j}\)) par l'application A, la matrice peut alors être notée :

\({(a}_{i,j})_{1\leq i\leq m,1\leq j \leq n}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}
\begin{pmatrix}
a_{1,1}&a_{1,2} &\cdots &a_{1,n}\\
a_{2,1}&a_{2,2} &\cdots &a_{2,n}\\
\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\
a_{m,1}&a_{m,2} &\cdots &a_{m,n}\\
\end{pmatrix}\)

Remarque :

Ne pas confondre la matrice (3,4) à coefficients dans E qui a un ordre sur les lignes et sur les colonnes :

\({(a}_{i,j})_{1\leq i\leq 3,1\leq j \leq 4}\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=}
\begin{pmatrix}
a_{1,1}&a_{1,2} &a_{1,3} &a_{1,4} \\
a_{2,1}&a_{2,2} &a_{2,3} &a_{2,4} \\
a_{3,1}&a_{3,2} &a_{3,3} &a_{3,4} \\
\end{pmatrix}\)

avec une partie du produit cartésien sur E\(^{4}\) qui n'a qu'un ordre sur les « colonnes » qui peut être représenté par un tableau :

{(\({a}_{1,1}, {a}_{1,2}, {a}_{1,3}, {a}_{1,4}\)), (\({a}_{2,1}, {a}_{2,2}, {a}_{2,3}, {a}_{2,4}\)), (\({a}_{3,1}, {a}_{3,2}, {a}_{3,3}, {a}_{3,4}\))}

 ni encore avec ce sous-ensemble de parties de E qui ne possède aucun ordre :

{{\({a}_{1,1}, {a}_{1,2}, {a}_{1,3}, {a}_{1,4}\)}, {\({a}_{2,1}, {a}_{2,2}, {a}_{2,3}, {a}_{2,4}\)}, {\({a}_{3,1}, {a}_{3,2}, {a}_{3,3}, {a}_{3,4}\)}}

Il n'existe pas réellement de distinction entre un n-uplet du produit cartésien sur E\(^{n}\) et une matrice de dimension (1,n) sur E. Uniquement, l'utilisation permettra de les différencier ainsi que l'absence de virgule de séparation dans la notation matricielle.

	Notre approche de l'écriture en ligne, au moins pour la grande majorité des langues utilisées, plutôt qu'en colonne (le chinois mandarin, le japonais et le coréen) a privilégié l'utilisation de l'ordre sur les colonnes dans les tableaux plutôt que celui sur les lignes. Mais, cela n'a rien de nécessaire.
	Lorsque nous travaillons avec un tableau de caractéristiques, il faut bien se demander s'il existe un ordre sur les lignes ou bien sur les colonnes :
	Représentation d'un tableau	Si ordre sur les colonnes	Si pas d'ordre sur les colonnes
	Si ordre sur les lignes	Représentation d'une matrice	Représentation d'un produit cartésien
	Si pas d'ordre sur les lignes	Représentation d'un produit cartésien	Représentation de parties d'ensemble
	Assurément, ce qui a été montré pour un tableau à deux dimensions peut être généralisé à de plus grandes dimensions.