Les bases : les dimensions projet

Maintenant que nous avons un cadre de travail, l'espace topologique projet (P,O), voyons comment le construire.

Regardons ce qu'une base de topologie peut nous apporter.

Base d'une topologie

Soit (E,O) un espace topologique.

• • On dit qu'une partie B de O est une base de O si tout ouvert de O est une réunion d'une famille d'ouverts de B.
  • Un ouvert d'une base B de O s'appelle un ouvert élémentaire de E.

Ainsi, si B est une base de l'espace topologique (E,O), tout ouvert O de E s'écrit :

O = \(\bigcup_{j\in J}{\omega}_{j}\)

Où chaque \({\omega}_{j}\) est un ouvert élémentaire, c'est-à-dire un élément de B.

Le théorème suivant est particulièrement intéressant :

Soient E un ensemble non vide, B une famille non vide de parties non vides de E. Alors B est une base d'une topologie sur E si et seulement si toute intersection finie non vide d'éléments de B est une réunion d'éléments de B.

Une famille non vide de parties non vides de E est donc un moyen très pratique pour construire une topologie sur un ensemble E avec « un minimum de moyens ».

Exemples extrêmes :

Dans une topologie discrète sur E : O=P(E), l'ensemble des singletons est une base de topologie.
Dans une topologie grossière sur E : O={\(\Phi\), E}, l'ensemble {E} réduit à la partie E est une base de topologie.

Un des moyens de construire l'espace projet est à partir d'un ensemble D de regroupements pertinents de caractéristiques de l'ensemble projet P, que nous considérons comme fondamentaux (basiques) pour le projet, pour peu que nous respections la contrainte suivante : toute intersection finie non vide d'éléments de cet ensemble D est une réunion d'éléments de cet ensemble. J'appelle D l'ensemble des dimensions de l'espace projet, base de l'espace projet ; et chaque élément de D(ouvert élémentaire de la topologie) une dimension projet. Le dimensionnement de ces regroupements est essentiel, la méthode JET intègre cette contrainte.