L'espace topologique : espace de gestion de projet

Les caractéristiques collectées dans l'ensemble projet P doivent désormais être regroupées en sous-ensembles cohérents afin d'assurer leur pertinence pour le projet.

Puis, il faudra s'appuyer sur ces sous-ensembles soigneusement sélectionnés pour gérer le projet.

La gestion de projet consiste à définir la manière d'organiser les caractéristiques du projet en différentes parties, de créer des relations entre ces parties et de les regrouper entre elles, afin de créer un espace projet propice à la conduite (visant à atteindre un objectif) et au pilotage (visant à atteindre un objectif dans les meilleures conditions) du projet.

Topologie

Une structure topologique (ou plus brièvement une topologie) sur un ensemble E est une structure constituée par la donnée d’une partie O de P(E) qui possède les propriétés suivantes :
(a) La réunion de toute famille d'éléments de O est un élément de O.
(b) L'intersection de toute famille finie d'éléments de O est un élément de O.

• • Par définition O \(\in\) P(P(E))
  • Les éléments de O sont appelés les ouverts, ou les parties ouvertes de E.
  • On appelle topologie grossière sur E : O={\(\Phi\), E}.
  • On appelle topologie discrète sur E : O=P(E)
  • Le couple (E,O) s'appelle espace topologique, E est un ensemble et O une topologie sur E.
  • Il est courant d'appeler les éléments de E des points de l'espace topologique.
  • Un point x d'un espace topologique E est dit isolé si le singleton {x} est un ouvert.

Exemple : un ensemble E de 2 éléments {a, b} peut être muni de quatre topologies différentes:

• • O_g = {\(\Phi\), E}, la topologie grossière,
  • O₁ = {\(\Phi\), {a}, E}
  • O₂ = {\(\Phi\), {b}, E}
  • O_d = {\(\Phi\), {a}, {b}, E}, la topologie discrète.

Notes :

• • Bourbaki sur la définition (a) explique que, comme conséquence des axiomes, dans tout espace topologique (E,O), le tout E et la partie vide \(\Phi\) sont des ouverts : pour Bourbaki (bon barbier selon Ockham), la réunion de la famille vide d'éléments de O est la partie vide \(\bigcup_{i∈\Phi}\)O\(_{i}\)=\(\Phi\), une intersection vide de parties est la partie pleine \(\bigcap_{i∈\Phi}\)O\(_{i}\)= E, il n'est pas utile d'ajouter un autre axiome. Cela se justifie pleinement du point de vue catégorique, mais guère au niveau pédagogique, et bien d’autres définitions préfèrent être claires et pécher par redondance en ajoutant aux axiomes (a) et (b) l’axiome (c) suivant selon lequel E et \(\Phi\) sont des ouverts.
  • Dans l'axiome (b), on peut remplacer ”intersection finie” par ”intersection de deux éléments”, l'équivalence découlant par une récurrence immédiate utilisant l’égalité (O₁ ∩ . . . ∩ O_n) = (O₁ ∩ . . . ∩ O_n−1) ∩ O_n 

Lorsqu'il s'agit de faire des regroupements pertinents, pour le projet, de caractéristiques de l'ensemble projet P, la réunion de tous ces regroupements pertinents doit également être considérée comme un regroupement pertinent. De plus, leur intersection doit aussi être considérée comme un regroupement pertinent. L'espace projet (P, O\(\subset\)P(P)) avec O ensemble de tous les regroupements pertinents pour le projet, correspond à un espace topologique dont les ouverts sont les regroupements pertinents de caractéristiques de projet. La méthode JET s'intègre dans ce cadre.